Использование метода экспоненциальных временных разностных схем для жестких систем с недиагональной линейной частью - Пермякова, Эвелина Владимировна; Голдобин, Денис Сергеевич (Вычислительная механика сплошных сред, 2019)
Методы экспоненциальных временных разностных схем дают устойчивые явные схемы для систем с быстро затухающими или осциллирующими модами («жестких» систем), снимая ограничение на величину шага по времени. Кроме того, использование этих методов позволяет радикально снижать скорость накопления погрешности при численном интегрировании консервативных систем. Особенно большой выигрыш в скорости счета получается для уравнений в частных производных с высоким порядком пространственных производных. Вместе с тем задача определения коэффициентов разностных схем этих методов становится крайне трудоемкой или аналитически неразрешимой при недиагональном виде принципиальной линейной части системы уравнений. В работе предлагается подход, при котором коэффициенты схем вычисляются путем прямого численного интегрирования некоторых вспомогательных задач на коротком временном интервале - одном шаге схемы. Подход является универсальным, его использование проиллюстрировано на четырех примерах: аналитически решаемой системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, одномерной системе с реакцией-диффузией в нестационарных условиях, двухмерной системе с реакцией-диффузией при стационарных и нестационарных условиях, одномерном уравнении Кана-Хилларда с постоянными коэффициентами. Использование метода экспоненциальных разностей по времени типа Рунге-Кутты второго порядка дает выигрыш скорости счета для уравнения диффузионного типа при оптимизации программы. Без оптимизации выигрыш растет на порядок по пространственному шагу с каждым новым порядком старшей пространственной производной и появляется, начиная с третьего порядка пространственной производной. Использование метода делает возможными исследования аналога локализации Андерсона в двух- и трехмерных активных средах, а также позволяет получить приемлемую производительность при прямом численном моделировании задач динамики плотности распределения активных броуновских частиц общего вида.
Keywords: методы экспоненциальных временных разностных схем; методы Кокса-Мэттьюса; жесткие системы; недиагональные уравнения