МКЭ-реализация метода геометрического погружения в напряжениях на примере плоских задач теории упругости
DOI:
https://doi.org/10.7242/1999-6691/2014.7.4.44Ключевые слова:
вариационный принцип Кастильяно, метод геометрического погружения, метод конечных элементов, теория упругостиАннотация
Изложены особенности численной реализации метода геометрического погружения в напряжениях применительно к решению плоских задач теории упругости изотропного однородного тела с произвольной формой границы. Суть метода геометрического погружения заключается в сведении исходной задачи для линейно упругого тела произвольной формы к итерационной последовательности задач теории упругости на некоторой канонической области. Сформулирована итерационная процедура для решения вариационного уравнения метода геометрического погружения, а также процедура построения его дискретного аналога с помощью метода конечных элементов в напряжениях для плоской задачи теории упругости в декартовой системе координат. Использован вариант конечного элемента, в котором аппроксимации напряжений, удовлетворяющие уравнениям равновесия, введены через функцию напряжений Эри. Продемонстрировано практическое применение метода на примере решения плоской задачи для упругой пластины с круговым вырезом. Получено достаточно хорошее соответствие результатов определения полей напряжений в сравнении с точным аналитическим решением и численным решением традиционным методом конечных элементов в перемещениях. Уделено внимание способам задания статических граничных условий, являющихся главными для данной вариационной формулировки, с использованием процедуры модификации матрицы податливости системы конечных элементов и метода множителей Лагранжа. Приведен пример численного решения задачи для несжимаемого упругого материала.
Скачивания
Библиографические ссылки
Бате К.-Ю. Методы конечных элементов. - М.: Физматлит, 2010. - 1024 с.
2. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. - М.: Наука, 1983. - 448 с.
3. Галлагер Р. Метод конечных элементов: Основы. - М.: Мир, 1984. - 428 с.
4. Girija Vallabhan C.V., Muluneh Azene. A finite element model for plane elasticity problems using the complementary energy theorem // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1982. - Vol. 18, no. 2. - P. 291-309. DOI
5. Sarigul N., Gallagher R.H. Assumed stress function finite element method: Two-dimensional elasticity // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1989. - Vol. 28, no. 7. - P. 1577-1598. DOI
6. Тюкалов Ю.Я. Решение задач строительной механики методом конечных элементов в напряжениях на основе функционала дополнительной энергии и принципа возможных перемещений / Дисс… докт. техн. наук: 05.23.17. - Киров, ВятГУ, 2006. - 314 с.
7. Watwood V.B. Jr., Hartz B.J. An equilibrium stress field model for finite element solutions of two-dimensional elastostatic problems // Int. J. Solids Struct. - 1968. - Vol. 4, no. 9. - P. 857-873. DOI
8. Fraeijs de Veubeke B. Displacement and equilibrium models in the finite element method // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 2001. - Vol. 52, no. 3. - P. 287-342. DOI
9. Pin Tong, Pian Theodore H.H. A variational principle and the convergence of a finite-element method based on assumed stress distribution // Int. J. Solids Struct. - 1969. - Vol. 5, no. 5. - P. 463-472. DOI
10. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. - М.: Наука, 1980. - 536 с.
11. Коновалов А.Н. Метод фиктивных областей в задачах кручения // Численные методы механики сплошной среды. - 1973. - Т. 4, № 2. - Новосибирск: Изд-во ИТПМ СО АН СССР. - С. 109-115.
12. Шардаков И.Н., Труфанов Н.А., Матвеенко В.П. Метод геометрического погружения в теории упругости. - Екатеринбург: Уро РАН, 1999. - 298 с.
13. Деревянкина П.О., Кузнецова Ю.С., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Теоретические положения метода геометрического погружения в напряжениях // Вычисл. мех. сплош. сред. - 2014. - Т. 7, № 3. - С. 317-330. DOI
14. Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Применение метода геометрического погружения для численного расчета пространственных конструкций // Расчеты на прочность. - 1990. - № 31. - C. 127-134.
15. Шардаков И.Н. Численная реализация дифференциальной постановки метода геометрического погружения для двумерных задач теории упругости // Модели и методы исследования упругого и неупругого поведения материалов и конструкций. - Свердловск: УНЦ АН СССР. - 1987. - C. 7-11.
16. Булавин П.В., Шардаков И.Н. Гранично-элементный подход к решению трехмерных задач теории упругости методом геометрического погружения // ПММ. - 1995. - Т. 59, № 2. - С. 252-258.
17. Матвеенко В.П., Осипанов А.А. Конечно-элементная реализация метода геометрического погружения применительно к плоской задаче теории упругости в напряжениях // Модели и методы исследования упругого и неупругого поведения материалов и конструкций. - Свердловск: УНЦ АН СССР.- 1987. - C. 11-16.
18. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. - М.: Мир, 1981. - 304 с.
19. Лурье А.И. Теория упругости. - М.: Наука, 1970. - 940 с.
20. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб. пособие. - М.: Наука, 1989. - 432 с.
21. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука 1966. - 708 с.
###
Bate K.-U. Metody konecnyh elementov. - M.: Fizmatlit, 2010. - 1024 s.
2. Berdicevskij V.L. Variacionnye principy mehaniki splosnoj sredy. - M.: Nauka, 1983. - 448 s.
3. Gallager R. Metod konecnyh elementov: Osnovy. - M.: Mir, 1984. - 428 s.
4. Girija Vallabhan C.V., Muluneh Azene. A finite element model for plane elasticity problems using the complementary energy theorem // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1982. - Vol. 18, no. 2. - P. 291-309. DOI
5. Sarigul N., Gallagher R.H. Assumed stress function finite element method: Two-dimensional elasticity // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1989. - Vol. 28, no. 7. - P. 1577-1598. DOI
6. Tukalov U.A. Resenie zadac stroitel’noj mehaniki metodom konecnyh elementov v naprazeniah na osnove funkcionala dopolnitel’noj energii i principa vozmoznyh peremesenij / Diss... dokt. tehn. nauk: 05.23.17. - Kirov, VatGU, 2006. - 314 s.
7. Watwood V.B. Jr., Hartz B.J. An equilibrium stress field model for finite element solutions of two-dimensional elastostatic problems // Int. J. Solids Struct. - 1968. - Vol. 4, no. 9. - P. 857-873. DOI
8. Fraeijs de Veubeke B. Displacement and equilibrium models in the finite element method // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 2001. - Vol. 52, no. 3. - P. 287-342. DOI
9. Pin Tong, Pian Theodore H.H. A variational principle and the convergence of a finite-element method based on assumed stress distribution // Int. J. Solids Struct. - 1969. - Vol. 5, no. 5. - P. 463-472. DOI
10. Marcuk G.I. Metody vycislitel’noj matematiki. - M.: Nauka, 1980. - 536 s.
11. Konovalov A.N. Metod fiktivnyh oblastej v zadacah krucenia // Cislennye metody mehaniki splosnoj sredy. - 1973. - T. 4, No 2. - Novosibirsk: Izd-vo ITPM SO AN SSSR. - S. 109-115.
12. Sardakov I.N., Trufanov N.A., Matveenko V.P. Metod geometriceskogo pogruzenia v teorii uprugosti. - Ekaterinburg: Uro RAN, 1999. - 298 s.
13. Derevankina P.O., Kuznecova U.S., Trufanov N.A., Sardakov I.N. Teoreticeskie polozenia metoda geometriceskogo pogruzenia v naprazeniah // Vycisl. meh. splos. sred. - 2014. - T. 7, No 3. - S. 317-330. DOI
14. Trufanov N.A., Sardakov I.N. Primenenie metoda geometriceskogo pogruzenia dla cislennogo rasceta prostranstvennyh konstrukcij // Rascety na procnost’. - 1990. - No 31. - C. 127-134.
15. Sardakov I.N. Cislennaa realizacia differencial’noj postanovki metoda geometriceskogo pogruzenia dla dvumernyh zadac teorii uprugosti // Modeli i metody issledovania uprugogo i neuprugogo povedenia materialov i konstrukcij. - Sverdlovsk: UNC AN SSSR. - 1987. - C. 7-11.
16. Bulavin P.V., Sardakov I.N. Granicno-elementnyj podhod k reseniu trehmernyh zadac teorii uprugosti metodom geometriceskogo pogruzenia // PMM. - 1995. - T. 59, No 2. - S. 252-258.
17. Matveenko V.P., Osipanov A.A. Konecno-elementnaa realizacia metoda geometriceskogo pogruzenia primenitel’no k ploskoj zadace teorii uprugosti v naprazeniah // Modeli i metody issledovania uprugogo i neuprugogo povedenia materialov i konstrukcij. - Sverdlovsk: UNC AN SSSR.- 1987. - C. 11-16.
18. Norri D., de Friz Z. Vvedenie v metod konecnyh elementov. - M.: Mir, 1981. - 304 s.
19. Lur’e A.I. Teoria uprugosti. - M.: Nauka, 1970. - 940 s.
20. Samarskij A.A., Gulin A.V. Cislennye metody: Uceb. posobie. - M.: Nauka, 1989. - 432 s.
21. Mushelisvili N.I. Nekotorye osnovnye zadaci matematiceskoj teorii uprugosti. - M.: Nauka 1966. - 708 s.
Загрузки
Опубликован
Выпуск
Раздел
Лицензия
Copyright (c) 2014 Вычислительная механика сплошных сред
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.
