Деформационное состояние листа графена в рамках континуальной моментно-мембранной теории упругих пластин
DOI:
https://doi.org/10.7242/1999-6691/2024.17.1.4Ключевые слова:
континуальная моментно-мембранная теория упругости, плоское напряжённое состояние, поперечных изгиб, наноструктуры с графеном, статика и собственные колебания, метод конечных элементовАннотация
Предложен подход для отыскания напряженно-деформированного состояния (НДС) структур, содержащих графен - новый наноматериал, который в настоящее время нашёл наиболее широкое практическое применение в наноэлектромеханических системах. Графен является базовым двумерным блоком, из которого строятся другие углеродные структуры: мембраны, листы, нанотрубки и другое. Для описания НДС листа графена использована феноменологическая континуальная моментно-мембранная теория пластин, из которой, вследствие того, что графен сверхтонкий материал, исключается понятие толщины. Физические соотношения упругости листа графена выражаются через его жёсткостные характеристики, которые определяются с помощью гармонического потенциала межатомных взаимодействий в углероде. Сформулированы дифференциальная и соответствующая ей вариационная постановка задачи статического деформирования и определения собственных частот и форм колебаний листа графена. Вариационная формулировка выполнена на основе принципа Лагранжа. Задача в вариационной постановке реализована численно, методом конечных элементов. Построены конечно-элементные соотношения, учитывающие моментные эффекты поведения листа графена. Для аппроксимации использован 4-узловой прямоугольный конечный элемент. Представлены численные решения нескольких задач статического деформирования листа графена в условиях плоского напряжённого состояния и поперечного изгиба, а также выполнен анализ его собственных колебаний. Продемонстрирована хорошая сходимость результатов численного моделирования во всех рассмотренных задачах. Полученные численные решения представляют собой важный результат для проектирования и расчёта резонаторов, в которых применяются сверхтонкие наноструктуры, а установление того факта, что лист графена обладает высокой собственной наименьшей частотой, находящейся в гегагерцевой области (например, для кварцевых резонаторов характерны мегагерцевые частоты), открывают перспективу применения самого графена в качестве сверхчувствительного наномеханического резонатора для детектирования малых масс и сверхмалых перемещений.Скачивания
Библиографические ссылки
Geim A.K., Novoselov K.S. The rise of graphene // Nature Materials. 2007. No. 3. P. 183–191. DOI: 10.1038/nmat1849.
Баимова Ю.А., Мулюков Р.Р. Графен, нанотрубки и другие углеродные наноструктуры. М.: РАН, 2018. 212 с.
Kang J.W., Kim H.-W., Kim K.-S., Lee J.H. Molecular dynamics modeling and simulation of a graphene-based nanoelectromechanical resonator // Current Applied Physics. 2013. Vol. 13, no. 4. P. 789–794. DOI: 10 . 1016 / j . cap.2012.12.007.
Wang J., Li T.T. Molecular dynamics simulation of the resonant frequency of graphene nanoribbons // Ferroelectrics. 2019. Vol. 549, no. 1. P. 87–95. DOI: 10.1080/00150193.2019.1592547.
Попов А.М. Вычислительные нанотехнологии. М.: КноРус, 2017. 312 с.
Korobeynikov S.N., Alyokhin V.V., Babichev A.V. Simulation of mechanical parameters of graphene using the DREIDING force field // Acta Mechanica. 2018. Vol. 229, no. 6. P. 2343–2378. DOI: 10.1007/s00707-018-2115-5.
Korobeynikov S.N., Alyokhin V.V., Babichev A.V. On the molecular mechanics of single layer graphene sheets // International Journal of Engineering Science. 2018. Vol. 133. P. 109–131. DOI: 10.1016/j.ijengsci.2018.09.001.
Korobeynikov S.N., Alyokhin V.V., Babichev A.V. Advanced nonlinear buckling analysis of a compressed single layer graphene sheet using the molecular mechanics method // International Journal of Mechanical Sciences. 2021. Vol. 209. 106703 DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2021.106703.
Аннин Б.Д., Баимова Ю.А., Мулюков Р.Р. Механические свойства, устойчивость, коробление графеновых листов и углеродных нанотрубок (обзор) // Прикладная механика и техническая физика. 2020. Т. 61, № 5. C. 175–189. DOI: 10.15372/PMTF20200519.
Квашнин А.Г., Сорокин П.Б., Квашнин Д.Г. Теоретические исследования механических свойств графеновых мембран методом молекулярной механики // Журнал Сибирского федерального университета. Серия: Математика и физика. 2009. Т. 2, № 4. C. 426–431.
Odegard G.M., Gates T.S., Nicholson L.M., Wise K.E. Equivalent-Continuum Modeling of Nano-structured Materials: Technical Memorandum / NASA Langley Research Center. 2001. NASA/TM-2001-210863–2001.
Li C., Chou T.-W. A structural mechanics approach for the analysis of carbon nanotubes // International Journal of Solids and Structures. 2003. Vol. 40. P. 2487–2499. DOI: 10.1016/S0020-7683(03)00056-8.
Гольдштейн Р.В., Ченцов А.В. Дискретно-континуальная модель нанотрубки // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2005. № 4. C. 57–74.
Wan H., Delale F. A structural mechanics approach for predicting the mechanical properties of carbon nanotubes // Meccanica. 2009. Vol. 45. P. 43–51. DOI: 10.1007/s11012-009-9222-2.
Беринский И.Е., Кривцов А.М., Кударова А.М. Определение изгибной жёсткости графенового листа // Физическая мезомеханика. 2014. Т. 17, № 1. C. 57–65. URL: https://www.elibrary.ru/rzuckp.
Иванова Е.А., Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н., Фирсова А.Д. Об определении упругих моделей наноструктур: теоретические расчеты и методика экспериментов // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2005. № 4. C. 75–84.
Иванова Е.А., Кривцов А.М., Морозов Н.Ф., Фирсова А.Д. Учёт моментного взаимодействия при расчёте изгибной жёсткости наноструктур // Доклады Академии наук. 2003. Т. 391, № 6. C. 764–768.
Иванова Е.А., Кривцов А.М., Морозов Н.Ф. Получение макроскопических соотношений упругости сложных кристаллических решёток с учётом моментных взаимодействий на микроуровне // Прикладная математика и механика. 2007. Т. 71, № 4. C. 595–615.
Кузькин В.А., Кривцов А.М. Описание механических свойств графена с использованием частиц с вращательными степенями свободы // Доклады Академии наук. 2011. Т. 440, № 4. C. 476–479.
Современные проблемы механики. Механические свойства ковалентных кристаллов / под ред. А.М. Кривцов, О.С. Лобода. СПб.: Исд-во Политехн. ун-та, 2014. 160 с.
Саркисян С.О. Стержневая и континуально-моментная модели деформаций двумерных наноматериалов // Физическая мезомеханика. 2022. Т. 25, № 2. C. 109–121. DOI: 10.55652/1683-805X_2022_25_2_109.
Саркисян С.О. Модель тонких оболочек в моментной теории упругости с деформационной концепцией «сдвиг плюс поворот» // Физическая мезомеханика. 2020. Т. 23, № 4. C. 13–19. DOI: 10.24411/1683-805X-2020-14002.
Саркисян С.О. Вариационные принципы моментно-мембранной теории оболочек // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2022. № 1. C. 38–47.
Sachio N., Benedict R., Lakes R. Finite element method for orthotropic micropolar elasticity // International Journal of Engineering Science. 1984. Vol. 22, no. 3. P. 319–330. DOI: 10.1016/0020-7225(84)90013-2.
Nakamura S., Lakes R.S. Finite element analysis of stress concentration around a blunt crack in a cosserat elastic solid // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1988. Vol. 66, no. 3. P. 257–266. DOI: 10.1016/0045-7825(88)90001-1.
Корепанов В.В., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Численное исследование двумерных задач несимметричной теории упругости // Известия Российской академии наук. Механика твёрдого тела. 2008. № 2. C. 63–70.
Саркисян С.О. Краевые задачи тонких пластин в несимметричной теории упругости // Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72, № 1. C. 129–147.
Саркисян С.О. Теория микрополярных упругих тонких оболочек // Прикладная математика и механика. 2012. Т. 76, № 2. C. 325–343.
Пальмов В.А. Плоская задача теории несимметричной упругости // Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28, № 6. C. 1117–1120.
Булыгин А.Н., Кувшинский Е.В. Плоская деформация в асимметрической теории упругости // Прикладная математика и механика. 1967. Т. 31, № 3. C. 543–547.
Пелех Б.Л. Концентрация напряжений около отверстий при изгибе трансверсально-изотропных пластин. Киев: Наукова думка, 1977. 183 с.
Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981. 304 с.
Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. 428 с.
Белкин А.Е., Гаврюшин С.С. Расчёт пластин методом конечных элементов. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2008. 232 с.
Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 862 с.
###
Geim A.K., Novoselov K.S. The rise of graphene. Nature Materials. 2007. No. 3. P. 183–191. DOI: 10.1038/nmat1849.
Baimova Y.A., Mulyukov R.R. Grafen, nanotrubki i drugiye uglerodnyye nanostruktury. Moscow: RAN, 2018. 212 p.
Kang J.W., Kim H.-W., Kim K.-S., Lee J.H. Molecular dynamics modeling and simulation of a graphene-based nanoelectromechanical resonator. Current Applied Physics. 2013. Vol. 13, no. 4. P. 789–794. DOI: 10 . 1016 / j . cap . 2012.12.007.
Wang J., Li T.T. Molecular dynamics simulation of the resonant frequency of graphene nanoribbons. Ferroelectrics. 2019. Vol. 549, no. 1. P. 87–95. DOI: 10.1080/00150193.2019.1592547.
Popov A.M. Vychislitelnyye nanotekhnologii. Moscow: KnoRus, 2017. 312 p.
Korobeynikov S.N., Alyokhin V.V., Babichev A.V. Simulation of mechanical parameters of graphene using the DREIDING force field. Acta Mechanica. 2018. Vol. 229, no. 6. P. 2343–2378. DOI: 10.1007/s00707-018-2115-5.
Korobeynikov S.N., Alyokhin V.V., Babichev A.V. On the molecular mechanics of single layer graphene sheets. International Journal of Engineering Science. 2018. Vol. 133. P. 109–131. DOI: 10.1016/j.ijengsci.2018.09.001.
Korobeynikov S.N., Alyokhin V.V., Babichev A.V. Advanced nonlinear buckling analysis of a compressed single layer graphene sheet using the molecular mechanics method. International Journal of Mechanical Sciences. 2021. Vol. 209. 106703 DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2021.106703.
Annin B.D., Baimova Y.A., Mulyukov R.R. Mechanical Properties, Stability, and Correction of Graphene Sheets and Carbon Nanotubes (Review). Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2020. Vol. 61, no. 5. P. 834–846. DOI: 10.1134/ S0021894420050193.
Kvashnin A.G., Sorokin P.B., Kvashnin D.G. Theoretic Investigation of Mechanical Properties of Graphene Membranes by Means of Molecular Mechanics. Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. 2009. Vol. 2, no. 4. P. 426–431.
Odegard G.M., Gates T.S., Nicholson L.M., Wise K.E. Equivalent-Continuum Modeling of Nano-structured Materials: Technical Memorandum / NASA Langley Research Center. 2001. NASA/TM-2001-210863–2001.
Li C., Chou T.-W. A structural mechanics approach for the analysis of carbon nanotubes. International Journal of Solids and Structures. 2003. Vol. 40. P. 2487–2499. DOI: 10.1016/S0020-7683(03)00056-8.
Goldshtein R.V., Chentsov A.V. Discrete-continuous model of a nanotube. Mechanics of Solids. 2005. Vol. 40, no. 4. P. 45–59.
Wan H., Delale F. A structural mechanics approach for predicting the mechanical properties of carbon nanotubes. Meccanica. 2009. Vol. 45. P. 43–51. DOI: 10.1007/s11012-009-9222-2.
Berinskii I.E., Krivtsov A.M., Kudarova A.M. Bending stiffness of a graphene sheet. Physical Mesomechanics. 2014. Vol. 17, no. 4. P. 356–364. DOI: 10.1134/S1029959914040134.
Ivanova E.A., Morozov N.F., Semenov B.N., Firsova A.D. Determination of elastic moduli of nanostructures: theoretical estimates and experimental techniques. Mechanics of Solids. 2005. Vol. 40, no. 4. P. 60–68.
Ivanova E.A., Krivtsov A.M., Morozov N.F., Firsova A.D. Inclusion of the moment interaction in the calculation of the flexural rigidity of nanostructures. Doklady Physics. 2003. Vol. 48, no. 8. P. 455–458. DOI: 10.1134/1.1606763.
Ivanova E.A., Krivtsov A.M., Morozov N.F. Derivation of macroscopic relations of the elasticity of complex crystal lattices taking into account the moment interactions at the microlevel. Applied Mathematics and Mechanics. 2007. Vol. 71, no. 4. P. 543–561. DOI: 10.1016/j.jappmathmech.2007.09.009.
Kuzkin V.A., Krivtsov A.M. Description for mechanical properties of graphene using particles with rotational degrees of freedom. Doklady Physics. 2011. Vol. 56, no. 10. P. 527–530. DOI: 10.1134/S102833581110003X.
Sovremennyye problemy mekhaniki. Mekhanicheskiye svoystva kovalentnykh kristallov / ed. by A.M. Krivtsov, O.S. Loboda. St. Petersburg: Publishing house of Politekhn. University, 2014. 160 p.
Sargsyan S.H. Beam and Continuous-Moment Models of Deformation of Two-Dimensional Nanomaterials. Physical Mesomechanics. 2022. Vol. 25, no. 4. P. 373–384. DOI: 10.1134/S1029959922040117.
Sargsyan S.H. A Moment-Elasticity Thin Shell Model for Shear-Plus-Rotation Deformation. Physical Mesomechanics. 2021. Vol. 24, no. 2. P. 140–145. DOI: 10.1134/S102995992102003X.
Sargsyan S.H. Variation Principles of Moment-Membrane Theory of Shells. Moscow University Mechanics Bulletin. 2022. Vol. 77, no. 1. P. 1–11. DOI: 10.3103/S0027133022010046.
Sachio N., Benedict R., Lakes R. Finite element method for orthotropic micropolar elasticity. International Journal of Engineering Science. 1984. Vol. 22, no. 3. P. 319–330. DOI: 10.1016/0020-7225(84)90013-2.
Nakamura S., Lakes R.S. Finite element analysis of stress concentration around a blunt crack in a cosserat elastic solid. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1988. Vol. 66, no. 3. P. 257–266. DOI: 10.1016/0045-7825(88)90001-1.
Korepanov V.V., Matveenko V.P., Shardakov I.N. Numerical study of two-dimensional problems of nonsymmetric elasticity. Mechanics of Solids. 2008. Vol. 43, no. 2. P. 218–224. DOI: 10.3103/S0025654408020064.
Sargsyan S.H. Boundary-value problems of the asymmetric theory of elasticity for thin plates. Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2008. Vol. 72, no. 1. P. 77–86. DOI: 10.1016/j.jappmathmech.2008.03.018.
Sargsyan S.H. The theory of micropolar thin elastic shells. Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2012. Vol. 76, no. 2.
P. 235–249. DOI: 10.1016/j.jappmathmech.2012.05.015.
Palmov V.A. The plane problem in the theory of nonsymmetrical elasticity. Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1964. Vol. 28, no. 6. P. 1341–1345. DOI: 10.1016/0021-8928(64)90046-2.
Bulygin A.N., Kuvshinskii E.V. Plane strain in the asymmetric theory of elasticity. Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1967. Vol. 31, no. 3. P. 569–573. DOI: 10.1016/0021-8928(67)90047-0.
Pelekh B.L. Kontsentratsiya napryazheniy okolo otverstiy pri izgibe transversalno-izotropnykh plastin. Kyiv: Naukova dumka, 1977. 183 p.
Norrie D.H., de Vries J. An Introduction to Finite Element Analisys. Academic Press, 1978. 301 p.
Gallagher R.H. Finite Element Analisys. Fundamentals. Englewood Cliffs, N.J., Prentice-Hall, 1974. 428 p.
Belkin A.E., Gavryushin S.S. Raschet plastin metodom konechnykh elementov. Moscow: Publishing house of MSTU im. N.E. Bauman, 2008. 232 p.
Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford, New York: Pergamon Press, 1986. 383 p.
Загрузки
Опубликован
Выпуск
Раздел
Лицензия
Copyright (c) 1970 Вычислительная механика сплошных сред
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.
