Функциональные связи гидродинамических полей стационарного осесимметричного течения вязкой жидкости
DOI:
https://doi.org/10.7242/1999-6691/2023.16.2.12Ключевые слова:
уравнения гидродинамики, осесимметричные течения, сохраняющиеся величины, функциональная зависимость, точные решенияАннотация
Анализ уравнений стационарного осесимметричного движения вязкой жидкости в переменных «функция тока–вихрь–функция Бернулли» показывает, что в случае существенно вязкого течения ранг матрицы Якоби системы этих гидродинамических переменных равен двум, что означает наличие между ними функциональной связи, задаваемой одним выражением. Основой для нахождения этой связи служит уравнение, следующее из уравнений движения и переноса вихря. Оно имеет вид линейной комбинации градиентов трёх гидродинамических полей с коэффициентами, равными минорам 2-го порядка матрицы Якоби. С помощью интегрирующего множителя линейную комбинацию можно преобразовать к полному градиенту некоторой функции, сохраняющей, хотя бы локально, постоянное значение на решении исходной системы гидродинамических уравнений. Эта сохраняющаяся величина даст выражение функциональной зависимости между функцией Бернулли, модифицированными вихрем и функцией тока. Для осуществления указанной процедуры требуется определить коэффициенты линейной комбинации как функции заранее неизвестных гидродинамических полей, а не пространственных переменных. Это приводит к необходимости рассмотрения замкнутой системы уравнений, которая и построена в настоящей работе. По её решениям устанавливается вид искомой функциональной зависимости и сами гидродинамические поля. Приведены примеры такого рода точных решений, которые могут служить основой для тестирования численных алгоритмов.
Скачивания
Библиографические ссылки
Седов Л.И. Механика сплошных сред. М.: Наука, 1970. Т. 2. 568 с.
Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.: Физматгиз, 1963. Ч. 2. 727 с.
Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 758 с.
Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994. 319 с. (English version https://doi.org/10.1007/978-94-017-0745-9)
Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. 256 с. (English version https://doi.org/10.1007/978-3-642-45914-6_2)
Sholle M., Marner F., Gaskell P.H. Potential fields in fluid mechanics: A review of two classical approaches and related recent advances // Water. 2020. Vol. 12. 1241. https://doi.org/10.3390/w12051241
Захаров В.Е., Кузнецов Е.А. Гамильтоновский формализм для нелинейных волн // УФН. 1997. Т. 167, № 11. C. 1138 1167. https://doi.org/10.3367/UFNr.0167.199711a.1137
Keller J.J. A pair of stream functions for three-dimensional vortex flows // Z. angew Math. Phys. 1996. Vol. 47. P. 821-836. https://doi.org/10.1007/BF00920036
Sholle M., Marner F. A generalized Clebsch transformation leading to a first integral of Navier-Stokes equations // Phys. Lett. 2016. Vol. 380. P. 3258-3261. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2016.07.066
Мамонтов Е.В. Преобразования эквивалентности уравнений Клебша // Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49, № 1. C. 153-160. (English version https://doi.org/10.1007/s11202-008-0012-1)
Riley N., Drazin P. The Navier-Stokes equations. A classification of flows and exact solutions. Cambridge University Press, 2006. 196 p.
Пухначёв В.В. Симметрии в уравнениях Навье-Стокса // Успехи механики. 2006. T. 4, № 1. C. 6-76.
Knyazev D.V. An integral of the two-dimensional stationary viscous fluid flow equations // J. Phys.: Conf. Ser. 2021. Vol. 1945. 012019. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1945/1/012019
Корн Г., Корн М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970. 720 с.
###
Sedov L.I. Mekhanika sploshnykh sred [Mechanics of continuous medium]. Moscow: Nauka, 1970. Vol. 2, 568 p.
Kochin N.E., Kibel’ I.A., Rose N.V. Theoretical hydromechanics. New York: Interscience Publ., 1964. Part 2, 569 p.
Batchelor G.K. An introduction to fluid dynamics. Cambridge University Press, 1970. 615 p.
Andreev V.K., Kaptsov O.V., Pukhnachov V.V., Rodionov A.A. Application of group-theoretical methods in hydrodynamics. Springer Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1998. 396 p. https://doi.org/10.1007/978-94-017-0745-9
Serrin J. Mathematical principles of classical fluid mechanics // Fluid Dynamics I, ed. By C. Truesdell. Springer, 1959. Pp. 125-263. https://doi.org/10.1007/978-3-642-45914-6_2
Sholle M., Marner F., Gaskell P.H. Potential fields in fluid mechanics: A review of two classical approaches and related recent advances. Water, 2020, vol. 12, 1241. https://doi.org/10.3390/w12051241
Zakharov V.E., Kuznetsov E.A. Hamiltonian formalism for nonlinear waves. Phys.-Usp., 1997, vol. 40, pp. 1087-1116. https://doi.org/10.1070/PU1997v040n11ABEH000304
Keller J.J. A pair of stream functions for three-dimensional vortex flows. Z. angew Math. Phys., 1996, vol. 47, pp. 821-836. https://doi.org/10.1007/BF00920036
Sholle M., Marner F. A generalized Clebsch transformation leading to a first integral of Navier-Stokes equations. Phys. Lett., 2016, vol. 380, pp. 3258-3261. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2016.07.066
Mamontov E.V. Equivalence transformations of the Clebsch equations. Sib. Math. J., 2008, vol. 49, pp. 123-129. https://doi.org/10.1007/s11202-008-0012-1
Riley N., Drazin P. The Navier-Stokes equations. A classification of flows and exact solutions. Cambridge University Press, 2006. 196 p.
Pukhnachev V.V. Simmetrii v uravneniyakh Nav’ye-Stoksa [Symmetries of the Navier-Stokes equations]. Uspekhi mekhaniki, 2006, vol. 4, no. 1, pp. 6-76.
Knyazev D.V. An integral of the two-dimensional stationary viscous fluid flow equations. J. Phys.: Conf. Ser., 2021, vol. 1945, 012019. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1945/1/012019
Korn G., Korn T. Mathematics handbook for scientists and engineers. McGraw-Hill Book Company, 1961. 943 p.
Загрузки
Опубликован
Выпуск
Раздел
Лицензия
Copyright (c) 2023 Вычислительная механика сплошных сред
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.
