Моделирование заполнения вязкой жидкостью области в капиллярном коаксиальном зазоре
DOI:
https://doi.org/10.7242/1999-6691/2019.12.3.27Ключевые слова:
коаксиальный капилляр, свободная поверхность, динамический краевой угол, метод конечных элементов, линия трехфазного контактаАннотация
Предложена вариационная формулировка краевой задачи движения вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью и изменяющимися динамическими краевыми углами. Математическое представление процесса состоит из уравнений движения, непрерывности и естественных граничных условий на свободной поверхности. Традиционная особенность математической модели на линиях трехфазного контакта (ЛТФК) устраняется с помощью условия скольжения. Краевой угол на ЛТФК включается в вариационную формулировку задачи путем замены функции кривизны свободной границы оператором Лапласа-Бельтрами и использованием интегрирования по частям. Для описания динамических условий на ЛТФК, связывающих скорость движения этих линий и динамические краевые углы на твердых стенках цилиндров, применяется эмпирическое соотношение Джианга. Численное решение задачи основано на методе смешанных конечных элементов с аппроксимацией основных переменных задачи (вектора скорости и давления), удовлетворяющей условию их совместности (LBB-условию). Кроме этого, для снижения осцилляций давления в окрестности ЛТФК взяты сингулярный конечный элемент и разрывная аппроксимация для давления. Численная реализация кинематического условия движения свободной поверхности производится по схеме предиктор-корректор. Проведены тестирование алгоритма на задачах, имеющих аналитические решения, и численные исследования кинематики потока и поведения свободной поверхности при заполнении коаксиального зазора в терминах определяющих параметров, входящих в числа Рейнольдса - Re (в диапазоне его изменения от 0 до 5), Стокса - W, (в диапазоне от 0 до 300) и капиллярного числа - Ca, (в диапазоне от 0,0001 до 10). Показано связь основных параметров задачи и динамических условий на линиях трехфазного контакта с эволюцией и максимальным прогибом свободной границы. При медленных условиях заполнения наибольшее влияние на его кинематические характеристики оказывают гравитационные и капиллярные силы. При значениях капиллярных чисел Са <0,1 в эволюции свободной поверхности начинают доминировать капиллярные силы. Увеличение расхода жидкости (Re>1) приводит к значительному росту прогиба свободной поверхности.
Скачивания
Библиографические ссылки
Rose W. Fluid-fluid interfaces in steady motion // Nature. 1961. Vol. 191. P. 242-243.
Huh C., Scriven L.E. Hydrodynamic model of steady movement of a solid/liquid/fluid contact line // J. Colloid Interface Sci. 1971. Vol. 35. P. 85-101. https://doi.org/10.1016/0021-9797(71)90188-3">https://doi.org/10.1016/0021-9797(71)90188-3
Dussan V. E.B., Davis S.H. On the motion of a fluid-fluid interface along a solid surface // J. Fluid Mech. 1974. Vol. 65. P. 71‑95. https://doi.org/10.1017/S0022112074001261">https://doi.org/10.1017/S0022112074001261
Пухначев В.В., Солонников В.А. К вопросу о динамическом краевом угле // ПММ. 1982. Т. 46, № 6. С. 961-971. (English version https://doi.org/10.1016/0021-8928(82)90059-4">https://doi.org/10.1016/0021-8928(82)90059-4)
Shikhmurzaev Y.D. Moving contact lines in liquid/liquid/solid structure // J. Fluid Mech. 1997. Vol. 334. P. 211-249. https://doi.org/10.1017/S0022112096004569">https://doi.org/10.1017/S0022112096004569
Mitsoulis E. Fountain flow revisited: The effect of various fluid mechanics parameters // AIChE J. 2010. Vol. 56. P. 1147-1162. https://doi.org/10.1002/aic.12038">https://doi.org/10.1002/aic.12038
Борзенко Е.И., Рыльцев И.А., Шрагер Г.Р. Кинематика течения жидкости Балкли-Гершеля со свободной поверхностью при заполнении канала // Изв. РАН. МЖГ. 2017. № 5. С. 53-64. https://doi.org/10.7868/S0568528117050061">https://doi.org/10.7868/S0568528117050061
Булгаков В.К., Чехонин К.А., Липанов А.М. Заполнение области между вертикальными коаксиальными цилиндрами аномально вязкой жидкостью в неизометрических условиях // ИФЖ. 1989. Т. 57, № 4. С. 577-583. (English version https://doi.org/10.1007/BF00871133">https://doi.org/10.1007/BF00871133)
Чехонин К.А., Сухинин П.А. Движение нелинейно-вязкопластичной жидкости со свободной поверхностью при заполнении осесимметричного объема // Мат. моделирование. 2001. Т. 13, № 3. С. 89-102.
Chekhonin K.A., Sukhinin P.A. Numerical modeling of filling axially symmetric channel with non-linearly viscoelastic fluid taking into account π effect // ИФЖ. 1999. Т. 72, № 5. С. 881-885. (English version https://doi.org/10.1007/BF02699405">https://doi.org/10.1007/BF02699405)
Wörner M. Numerical modeling of multiphase flow in microfluidics and micro process engineering: a review of methods and applications // Microfluid. Nanofluid. 2012. Vol. 12. P. 841-886. https://doi.org/10.1007/s10404-012-0940-8">https://doi.org/10.1007/s10404-012-0940-8
Булгаков В.К., Чехонин К.А. Основы теории метода смешанных конечных элементов. Хабаровск: Изд-во Хабар. политех. ин-та, 1999. 283 c.
Fukai J., Shiiba Y., Yamamoto T., Miyatake O., Poulikakos D., Megaridis C.M., Zhao Z. Wetting effects on the spreadingof a liquid droplet colliding with a flat surface: experiment and modeling // Phys. Fluid. 1995. Vol. 7. P. 236-247. https://doi.org/10.1063/1.868622">https://doi.org/10.1063/1.868622
Renardy M., Renardy Y., Li J. Numerical simulation of moving contact line problems using a volume-of-fluid method // J. Comput. Phys. 2001. Vol. 171. P. 243-263. https://doi.org/10.1006/jcph.2001.6785">https://doi.org/10.1006/jcph.2001.6785
Ruschak K.J. A method for incorporating free boundaries with surface tension in finite element fluid-flow simulators // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1980. Vol. 15. P. 639-648. https://doi.org/10.1002/nme.1620150502">https://doi.org/10.1002/nme.1620150502
Spelt P.D.M. A level-set approach for simulations of flows with multiple moving contact lines with hysteresis // J. Comput. Phys. 2005. Vol. 207. P. 389-404. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2005.01.016">https://doi.org/10.1016/j.jcp.2005.01.016
Šikalo S., Wilhelm H.-D., Roisman I.V., Jakirlić S., Tropea C. Dynamic contact angle of spreading droplets: Experiments and simulations // Phys. Fluid. 2005. Vol. 17. 062103. https://doi.org/10.1063/1.1928828">https://doi.org/10.1063/1.1928828
Dziuk G. An algorithm for evolutionary surfaces // Numer. Math. 1990. Vol. 58. P. 603-611. https://doi.org/10.1007/BF01385643">https://doi.org/10.1007/BF01385643
Dziuk G., Elliott C.M. Finite elements on evolving surfaces // IMA J. Numer. Anal. 2007. Vol. 27. P. 262-292. https://doi.org/10.1093/imanum/drl023">https://doi.org/10.1093/imanum/drl023
Gross S., Reusken A. Finite element discretization error analysis of a surface tension force in two-phase incompressible flows // SIAM J. Numer. Anal. 2007. Vol. 45. P. 1679-1700. https://doi.org/10.1137/060667530">https://doi.org/10.1137/060667530
Saksono P.H., Perić D. On finite element modelling of surface tension: Variational formulations and applications - Part II: Dynamic problems // Comput. Mech. 2006. Vol. 38. P. 251-263. https://doi.org/10.1007/s00466-005-0745-7">https://doi.org/10.1007/s00466-005-0745-7
Slikkerveer P.J., Van Lohuizen E.P., O’Brien S.B.G. An implicit surface tension algorithm for Picard solvers of surface-tension-dominated free and moving boundary problems // Int. J. Numer. Meth. Fluid. 1996. Vol. 22. P. 851-865. https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0363(19960515)22:9%3c851::AID-FLD380%3e3.0.CO;2-R">https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0363(19960515)22:9<851::AID-FLD380>3.0.CO;2-R
Brooks A.N., Hughes T.J.R. Streamline upwind/Petrov-Galerkin formulations for convection dominated flows with particular emphasis on the incompressible Navier-Stokes equations // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1982. Vol. 32. P. 199-259. https://doi.org/10.1016/0045-7825(82)90071-8">https://doi.org/10.1016/0045-7825(82)90071-8
Saad Y., Schultz M.H. GMRES: A generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems // SIAM J. Sci. and Stat. Comput. 1986. Vol. 7. P. 856-869. https://doi.org/10.1137/0907058">https://doi.org/10.1137/0907058
Jiang T.-S., Oh S.-G., Slattery J.C. Correlation for dynamic contact angle // J. Colloid Interface Sci. 1979. Vol. 69. P. 74-77. https://doi.org/10.1016/0021-9797(79)90081-X">https://doi.org/10.1016/0021-9797(79)90081-X
Georgiou G.C., Olson L.G., Schultz W.W., Sagan S. A singular finite element for Stokes flow: The stick–slip problem // Int. J. Numer. Meth. Fluid. 1989. Vol. 9. P. 1353-1367. https://doi.org/10.1002/fld.1650091105">https://doi.org/10.1002/fld.1650091105
Центр коллективного пользования «Центр данных ДВО РАН». URL: http://lits.ccfebras.ru/">http://lits.ccfebras.ru (дата обращения: 10.04.2019).
###
Rose W. Fluid-fluid interfaces in steady motion. Nature, 1961, vol. 191, pp. 242-243.
Huh C., Scriven L.E. Hydrodynamic model of steady movement of a solid/liquid/fluid contact line. J. Colloid Interface Sci., 1971, vol. 35, pp. 85-101. https://doi.org/10.1016/0021-9797(71)90188-3">https://doi.org/10.1016/0021-9797(71)90188-3
Dussan V. E.B., Davis S.H. On the motion of a fluid-fluid interface along a solid surface. J. Fluid Mech., 1974, vol. 65, pp. 71‑95. https://doi.org/10.1017/S0022112074001261">https://doi.org/10.1017/S0022112074001261
Pukhnachev V.V., Solonnikov V.A. On the problem of dynamic contact angle. J. Appl. Math. Mech., 1982, vol. 46, pp. 771-779. https://doi.org/10.1016/0021-8928(82)90059-4">https://doi.org/10.1016/0021-8928(82)90059-4
Shikhmurzaev Y.D. Moving contact lines in liquid/liquid/solid structure. J. Fluid Mech., 1997, vol. 334, pp. 211-249. https://doi.org/10.1017/S0022112096004569">https://doi.org/10.1017/S0022112096004569
Mitsoulis E. Fountain flow revisited: The effect of various fluid mechanics parameters. AIChE J., 2010, vol. 56, pp. 1147-1162. https://doi.org/10.1002/aic.12038">https://doi.org/10.1002/aic.12038
Borzenko E.I., Ryl'tsev I.A., Shrager G.R. Kinematics of Bulkley–Herschel fluid flow with a free surface during the filling of a channel. Fluid dyn., 2017, vol. 52, no 5, pp. 646-656. https://doi.org/10.1134/S0015462817050064">https://doi.org/10.1134/S0015462817050064
Bulgakov V.K., Lipanov A.M., Chekhonin K.A. Filling the region between vertical coaxial cylinders of an anomalously viscous fluid under nonisothermal conditions. Journal of Engineering Physics, 1989, vol. 57, pp. 1169-1175. https://doi.org/10.1007/BF00871133">https://doi.org/10.1007/BF00871133
Chekhonin K.A., Sukhinin P.A. Dvizheniye nelineyno-vyazkoplastichnoy zhidkosti so svobodnoy poverkhnost’yu pri zapolnenii osesimmetrichnogo ob”yema [Non-linear visco-plastic fluid flow with free surface under filling up the axi symmetric channel]. Mat. Modelirovaniye – Mathematical Models and Computer Simulations, 2001, vol. 13, no. 3, pp. 89-102.
Chekhonin K.A., Sukhinin P.A. Numerical modeling of filling of an axisymmetric channel with a nonlinear viscoplastic fluid with allowance for the π-effect. J. Eng. Phys. Thermophys., 1999, vol. 72, pp. 851-855. https://doi.org/10.1007/BF02699405">https://doi.org/10.1007/BF02699405
Wörner M. Numerical modeling of multiphase flow in microfluidics and micro process engineering: a review of methods and applications. Microfluid. Nanofluid., 2012, vol. 12, pp. 841-886. https://doi.org/10.1007/s10404-012-0940-8">https://doi.org/10.1007/s10404-012-0940-8
Bulgakov V.K., Chekhonin K.A. Osnovy teorii metoda smeshannykh konechnykh elementov [Fundamentals of the theory of mixed finite element method]. Khabarovsk: Izd-vo Khabar. politekh. in-ta, 1999. 283 p.
Fukai J., Shiiba Y., Yamamoto T., Miyatake O., Poulikakos D., Megaridis C.M., Zhao Z. Wetting effects on the spreadingof a liquid droplet colliding with a flat surface: experiment and modeling. Phys. Fluid., 1995, vol. 7, pp. 236-247. https://doi.org/10.1063/1.868622">https://doi.org/10.1063/1.868622
Renardy M., Renardy Y., Li J. Numerical simulation of moving contact line problems using a volume-of-fluid method. J. Comput. Phys., 2001, vol. 171, pp. 243-263. https://doi.org/10.1006/jcph.2001.6785">https://doi.org/10.1006/jcph.2001.6785
Ruschak K.J. A method for incorporating free boundaries with surface tension in finite element fluid-flow simulators. Int. J. Numer. Meth. Eng., 1980, vol. 15, pp. 639-648. https://doi.org/10.1002/nme.1620150502">https://doi.org/10.1002/nme.1620150502
Spelt P.D.M. A level-set approach for simulations of flows with multiple moving contact lines with hysteresis. J. Comput. Phys., 2005, vol. 207, pp. 389-404. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2005.01.016">https://doi.org/10.1016/j.jcp.2005.01.016
Šikalo S., Wilhelm H.-D., Roisman I.V., Jakirlić S., Tropea C. Dynamic contact angle of spreading droplets: Experiments and simulations. Phys. Fluid., 2005, vol. 17, 062103. https://doi.org/10.1063/1.1928828">https://doi.org/10.1063/1.1928828
Dziuk G. An algorithm for evolutionary surfaces. Numer. Math., 1990, vol. 58, pp. 603-611. https://doi.org/10.1007/BF01385643">https://doi.org/10.1007/BF01385643
Dziuk G., Elliott C.M. Finite elements on evolving surfaces. IMA J. Numer. Anal., 2007, vol. 27, pp. 262-292. https://doi.org/10.1093/imanum/drl023">https://doi.org/10.1093/imanum/drl023
Gross S., Reusken A. Finite element discretization error analysis of a surface tension force in two-phase incompressible flows. SIAM J. Numer. Anal., 2007, vol. 45, pp. 1679-1700. https://doi.org/10.1137/060667530">https://doi.org/10.1137/060667530
Saksono P.H., Perić D. On finite element modelling of surface tension: Variational formulations and applications - Part II: Dynamic problems. Comput. Mech., 2006, vol. 38, pp. 251-263. https://doi.org/10.1007/s00466-005-0745-7">https://doi.org/10.1007/s00466-005-0745-7
Slikkerveer P.J., Van Lohuizen E.P., O’Brien S.B.G. An implicit surface tension algorithm for Picard solvers of surface-tension-dominated free and moving boundary problems. Int. J. Numer. Meth. Fluid., 1996, vol. 22, pp. 851-865. https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0363(19960515)22:9%3c851::AID-FLD380%3e3.0.CO;2-R">https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0363(19960515)22:9<851::AID-FLD380>3.0.CO;2-R
Brooks A.N., Hughes T.J.R. Streamline upwind/Petrov-Galerkin formulations for convection dominated flows with particular emphasis on the incompressible Navier-Stokes equations. Comput. Meth. Appl. Mech. Eng., 1982, vol. 32, pp. 199-259. https://doi.org/10.1016/0045-7825(82)90071-8">https://doi.org/10.1016/0045-7825(82)90071-8
Saad Y., Schultz M.H. GMRES: A generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems. SIAM J. Sci. and Stat. Comput., 1986, vol. 7, pp. 856-869. https://doi.org/10.1137/0907058">https://doi.org/10.1137/0907058
Jiang T.-S., Oh S.-G., Slattery J.C. Correlation for dynamic contact angle. J. Colloid Interface Sci., 1979, vol. 69, pp. 74-77. https://doi.org/10.1016/0021-9797(79)90081-X">https://doi.org/10.1016/0021-9797(79)90081-X
Georgiou G.C., Olson L.G., Schultz W.W., Sagan S. A singular finite element for Stokes flow: The stick–slip problem. Int. J. Numer. Meth. Fluid., 1989, vol. 9, pp. 1353-1367. https://doi.org/10.1002/fld.1650091105">https://doi.org/10.1002/fld.1650091105
http://lits.ccfebras.ru/">http://lits.ccfebras.ru (accessed 10 April 2019).
