Об устойчивости подкрепленных арок

Аннотация

Обсуждаются решения новых задач устойчивости упругих систем при наличии односторонних ограничений на перемещения. К подобным системам относятся и подкрепленные круговые арки. Проблемы их устойчивости при действии равномерного давления являются классическими и широко отражены в литературе. В данной работе рассматривается устойчивость круговых арок, подкрепленных нерастяжимыми нитями, которые не выдерживают сжимающих усилий. Оба конца нити зафиксированы на оси арки так, что при деформировании расстояние между точками прикрепления не может увеличиваться. Желание выяснить, как ведут себя упругие системы при наличии односторонних ограничений на перемещения, приводит к необходимости анализа точек бифуркации нелинеаризуемых уравнений, описывающих состояние системы, или к отысканию параметров, при которых моделирующая вариационная задача с ограничениями на искомые функции в форме неравенств имеет неединственное решение. При численном подходе эта задача сводится к нахождению и исследованию точек бифуркации решений задачи нелинейного программирования. При этом определение точек бифуркации заключается в идентификации условной положительной определенности квадратичных форм на конусах. Существуют критерии условной положительной определенности квадратичных форм на конусах в важном частном случае, когда конус есть положительный ортант в евклидовом пространстве. Хотя применение критериев имеет следствием вычисление большого количества определителей, что в отношении затрат на решение крайне неэффективно, однако при небольшом числе переменных их использование практикуется, например, при решении задач устойчивости по Ляпунову. В данной работе для решения задачи невыпуклого квадратичного программирования, которая встает при исследовании устойчивости упругих систем с односторонними ограничениями на перемещения, предлагается и обосновывается метод перебора вариантов. Полученные результаты могут быть полезными для повышения несущей способности при проектировании арок и арочных систем.