Численный метод решения обратной задачи об источнике для уравнения конвективного переноса

Аннотация

Рассматриваются две обратные задачи восстановления функции источника для линейного уравнения конвективного переноса. Первая задача состоит в нахождении источника, зависящего лишь от пространственной переменной, с условием финального переопределения. Вторая задача заключается в нахождении источника, обусловленного только временем, и является обратной задачей с переопределением при дополнительном условии на границе рассматриваемой области. Для решения первой задачи производится дискретизация производной по пространственной переменной, и вследствие этого исходная задача сводится к дифференциально-разностной относительно функций времени. Ее решение предлагается представлять в специальном виде, который позволяет свести исходную задачу при каждом дискретном значении пространственной переменной к двум задачам Коши и линейному уравнению относительно приближенного значения искомой функции источника. Численное решение задач Коши осуществляется с помощью неявного метода Эйлера. Для решения второй задачи производная дискретизируется по времени, и задача становится дифференциально-разностной относительно функций пространственной переменной. Полученная дифференциально-разностная задача разрешается путем специального представления решения. В результате при каждом дискретном значении временной переменной вторая задача распадается на две задачи Коши и линейное уравнение относительно приближенного значения искомой функции источника. Для численного решения задач Коши снова необходимо прибегнуть к неявному методу Эйлера. В предлагаемом подходе, в отличие от метода глобальной регуляризации, используется регуляризационные свойства вычислительного алгоритма, и решение находится последовательно, без применения итерационных процедур. Предложенный метод апробирован в численных экспериментах на модельных задачах.