Математическое моделирование волнового поля методом конечных разностей
DOI:
https://doi.org/10.7242/1999-6691/2024.17.2.16Ключевые слова:
акустическое зондирование, математическая модель, гидродинамика, волновое уравнение, дискретная модель, погрешность аппроксимации, авторский программный комплексАннотация
Система уравнений гидродинамики, записанная в дифференциальной форме, приведена к неоднородному волновому уравнению, для которого построена дискретная модель. Исследуемая область, представляющая собой прямоугольник, покрывается двумерной равномерной расчетной сеткой. Разработаны дискретные аналоги волнового уравнения при граничных условиях Дирихле и Неймана. Описан выбор вида и параметров расчетных сеток. Получены аналитические выражения, для определения погрешности аппроксимации по пространственным координатным направлениям для оператора второй производной на основе схем 2-го и 4-го порядков точности и в этом диапазоне погрешности оценены размеры сеток. Вычислительные эксперименты показали, что для удержания погрешности в пределах от 0.1 до 1%, необходимо применять сетки с приходящимся на половину длины волны числом узлов в диапазоне от 9 до 30 при схеме 2-го порядка точности, и от 4 до 6 при схеме 4-го порядка точности. Важным является выбор значений шага по времени и весового параметра. Так, при весовом параметре σ =1/12 относительная погрешность существенно меньше, чем при σ =0, соответствующем явной схеме, и при σ =1/4, соответствующем симметричному заданию коэффициентов в схеме с весами. Рассчитаны оптимальные значения весового параметра с точки зрения сохранения частоты распространения колебательных процессов. При анализе дискретной модели получено условие устойчивости разностной схемы и выражение, описывающее погрешность аппроксимации по временной переменной, зависящее от величин шагов по времени и пространственным координатным направлениям. Установлено, что аппроксимация начальных условий вносит в суммарную погрешность меньший вклад, чем аппроксимация уравнения для последующих временных слоев. На основе предложенных алгоритмов и подходов создан программный комплекс, предназначенный для моделирования процесса распространения колебаний в двумерной области. Проведен ряд вычислительных экспериментов, в частности, рассмотрены процессы: распространение акустических волн от антенн с отличающимися характеристиками направленности; рассеяние волн на препятствиях разных типов. Для отыскания дальних полей акустической антенны предлагается расчетное окно делать подвижным и находить его местоположение в пространстве. Это позволяет существенно сократить время оценки распространения звуковых волн на большие расстояния.
Скачивания
Библиографические ссылки
Осипов А.А., Реент К.С. Математическое моделирование распространения звука в проточном канале с импедансными стенками // Акустический журнал. 2012. Т. 58, № 4. C. 509–524.
Евстигнеев Р.О., Медведик М.Ю., Шмелев А.А. Итерационный метод решения прямых и обратных двумерных задач акустики с применением параллельных алгоритмов // Эвристические алгоритмы и распределенные вычисления. 2015. Т. 2, № 1. C. 71–81.
Седипков А.А. Прямая и обратная задачи акустического зондирования в слоистой среде с разрывными параметрами // Сибирский журнал индустриальной математики. 2014. Т. 17, № 1. C. 120–134.
Ватульян А.О., Юров В.О. Волновые процессы в полом цилиндре в поле неоднородных предварительных напряжений // Прикладная механика и техническая физика. 2016. Т. 57, № 4. C. 182–191. DOI: 10.15372/PMTF20160418.
Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Учет особенностей аналитического продолжения волнового поля при использовании методов нулевого поля и Т-матриц // Электромагнитные волны и электронные системы. 2008. Т. 13, № 8. C. 78–86.
Ландсберг Г.С. Оптика. Москва: Физматлит, 2003. 848 с.
Агарышев А.И., Жанг Н.М. Применение закона Снеллиуса для расчета траекторий радиоволн в регулярной рассеивающей ионосфере // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2013. № 4. C. 131–137.
Thomson W.T. Transmission of Elastic Waves througha Stratified Solid Medium // Journal of Applied Physics. 1950. Vol. 21. P. 89–93. DOI: 10.1063/1.1699629.
Haskell N.A. The dispersion of surface waves in multilayered media // Bulletin of the Seismological Society of America. 1953. Vol. 43. P. 17–34. DOI: 10.1785/BSSA0430010017.
Романов В.Г. Обратная задача для волнового уравнения с нелинейным поглощением // Сибирский математический журнал. 2023. Т. 64, № 3. C. 635–652. DOI: 10.33048/smzh.2023.64.314.
Кузнецов Г.Н., Кузькин В.М., Переселков С.А., Просовецкий Д.Ю. Помехоустойчивость интерферометрического метода оценки скорости источника звука в мелком море // Акустический журнал. 2016. Т. 62, № 5. C. 556–572. DOI: 10.7868/S0320791916050105.
Бахвалов П.А., Козубская Т.К., Корнилина Е.Д., Морозов А.В., Якобовский М.В. Технология расчета акустических возмущений в дальнем поле течения // Математическое моделирование. 2011. Т. 23, № 11. C. 33–47.
Петров И.Б., Фаворская А.В. О совместном моделировании волновых явлений сеточно-характеристическим методом и разрывным методом Галеркина // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления. 2022. Т. 506, № 1. C. 62–67. DOI: 10.31857/S2686954322050150.
Четверушкин Б.Н., Ольховская О.Г., Гасилов В.А. Трехслойная схема для решения уравнения диффузии излучения // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления. 2023. Т. 512, № 1. C. 89–95. DOI: 10.31857/S2686954323600295.
Драчев К.А., Римлянд В.И. Применение метода конечных разностей во временной области для моделирования распространения ультразвука // Вестник Тихоокеанского государственного университета. 2018. № 1. C. 15–22.
Филимонов С.А., Гаврилов А.А., Дектерев А.А., Литвинцев К.Ю. Математическое моделирование взаимодействия свободно-конвективного течения и подвижного тела // Вычислительная механика сплошных сред. 2023. Т. 16, № 1. C. 89–100. DOI: 10.7242/1999-6691/2023.16.1.7.
Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А., Сидорякина В.В., Проценко С.В. Метод учета заполненности ячеек для решения задач гидродинамики со сложной геометрией расчетной области // Математическое моделирование. 2019. Т. 31, № 8. C. 79–100. DOI: 10.1134/S0234087919080057.
Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Сидорякина В.В., Проценко Е.А. Экономичные явно-неявные схемы решения многомерных задач диффузии-конвекции // Вычислительная механика сплошных сред. 2019. Т. 12, № 4. C. 435–445. DOI: 10.7242/1999-6691/2019.12.4.37.
###
Osipov A.A., Reent K.S. Mathematical simulation of sound propagation in a flow channel with impedance walls. Acoustical Physics. 2012. Vol. 58, no. 4. P. 467–480. DOI: 10.1134/S1063771012040136.
Evstigneev R.O., Medvedik M.Y., Shmelev A.A. The iteration methods for solving direct and inverse two-dimensional acoustic problems using parallel algorithms. Evristicheskiye algoritmy i raspredelennyye vychisleniya. 2015. Vol. 2, no. 1. P. 71–81.
Sedipkov A.A. Pryamaya i obratnaya zadachi akusticheskogo zondirovaniya v sloistoy srede s razryvnymi parametrami. Sibirskiy zhurnal industrial’noy matematiki. 2014. Vol. 17, no. 1. P. 120–134.
Vatul’jan A.O., Jurov V.O. Wave processes in a hollow cylinder in the field of inhomogeneous prestress. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2016. Vol. 57, no. 4. P. 731–739. DOI: 10.15372/PMTF20160418.
Kyurkchan A.G., Smirnova N.L. Taking into account a singularities of analytical continuation of a wave field at using the null-field method and the T-matrixes method. Journal Electromagnetic Waves and Electronic Systems. 2008. Vol. 13, no. 8. P. 78–86.
Landsberg G.S. Optika. Moscow: Fizmatlit, 2003. 848 p.
Agaryshev A.I., Giang N.M. Snell’s law application for calculating radio wave trajectories in regular scattering ionosphere. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2013. No. 4. P. 131–137.
Thomson W.T. Transmission of Elastic Waves through a Stratified Solid Medium. Journal of Applied Physics. 1950. Vol. 21. P. 89–93. DOI: 10.1063/1.1699629.
Haskell N.A. The dispersion of surface waves in multilayered media. Bulletin of the Seismological Society of America. 1953. Vol. 43. P. 17–34. DOI: 10.1785/BSSA0430010017.
Romanov V.G. An Inverse Problem for the Wave Equation with Nonlinear Dumping. Siberian Mathematical Journal. 2023. Vol. 64, no. 3. P. 670–685. DOI: 10.1134/s003744662303014x.
Kuznetsov G.N., Kuz’kin V.M., Pereselkov S.A., Prosovetskiy D.Y. Interference immunity of an interferometric method of estimating the velocity of a sound source in shallow water. Acoustical Physics. 2016. Vol. 62, no. 5. P. 559–574. DOI: 10.1134/S1063771016050109.
Bakhvalov P.A., Kozubskaya T.K., Kornilina E.D., Morozov A.V., Yacobovskii M.V. Technology of predicting acoustic turbulence in the far-field flow. Mathematical Models and Computer Simulations. 2012. Vol. 4, no. 3. P. 363–373. DOI: 10.1134/S2070048212030039.
Petrov I.B., Favorskaya A.V. Joint Modeling of Wave Phenomena by Applying the Grid-Characteristic Method and the Discontinuous Galerkin Method. Doklady Mathematics. 2022. Vol. 106, no. 2. P. 356–360. DOI: 10.1134/S1064562422050179.
Chetverushkin B.N., Olkhovskaya O.G., Gasilov V.A. Three-Level Scheme for Solving the Radiation Diffusion Equation. Doklady Mathematics. 2023. Vol. 108, no. 1. P. 320–325. DOI: 10.1134/S1064562423700837.
Drachev K.A., Rimlyand V.I. The application of the time domain finite-difference method for simulation of the ultrasound propagation. Bulletin of Pacific National University. 2018. No. 1. P. 15–22.
Filimonov S.A., Gavrilov A.A., Dekterev A.A., Litvintsev K.Y. Mathematical modeling of the interaction of a thermal convective flow and a moving body. Computational Continuum Mechanics. 2023. Vol. 16, no. 1. P. 89–100. DOI: 10.7242/1999-6691/2023.16.1.7.
Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Protsenko E.A., Sidoryakina V.V., Protsenko S.V. Accounting Method of Filling Cells for the Solution of Hydrodynamics Problems with a Complex Geometry of the Computational Domain. Mathematical Models and Computer Simulations. 2020. Vol. 12, no. 2. P. 232–245. DOI: 10.1134/S2070048220020155.
Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Sidoryakina V.V., Protsenko E.A. Economical Explicit-Implicit Schemes for Solving Multidimensional Diffusion–Convection Problems. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2020. Vol. 61. P. 1257–1267. DOI: 10.1134/S0021894420070159.
Загрузки
Опубликован
Выпуск
Раздел
Лицензия
Copyright (c) 2024 Вычислительная механика сплошных сред
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.
