Nonstationary laminar thermal and solutal Marangoni convection of a viscous fluid
DOI:
https://doi.org/10.7242/1999-6691/2015.8.4.38Keywords:
laminar Marangoni convection, thermal convection, solutal convection, exact solution, boundary element method, counterflows, border of counter flowsAbstract
We have determined and analyzed exact stationary and nonstationary solutions to the laminar Marangoni convection problem, which is an overdetermined boundary value problem. The numerical solution of this problem belongs to the class of Birikh solutions. The overdetermination of the resolving system of equations results from the zeroness of the velocity parallel to the applicate axis. Cases of thermal and solutal convection of a viscous incompressible fluid are considered. To make the boundary value problem solvable, the class of exact solutions is proposed for use, where velocities are one-dimensional in coordinates, the pressure and temperature fields are three-dimensional. Identical equality to zero of the convective derivative in the impulse conservation equation is typical of the class presented. The convective derivative remains in the caloric equation. The discussed boundary value problem is shown to be irreducible to the one-dimensional problem when the temperature gradient is specified on both boundaries of the fluid layer, as distinct from the classical Birikh solution and its numerous generalizations. The obtained stationary and nonstationary solutions have a stagnation point for velocities, thus suggesting the presence of counter flows in the moving fluid. It is demonstrated by localization of the polynomial roots of the stationary solutions that there exists such a value of layer thickness that the tangential stress can become zero on the lower boundary of the fluid layer only under thermal Marangoni convection. The nonstationary solutions obtained by the boundary element method, which can be treated as an exact method, tend to become stationary. The application of the boundary element method extends the class of exact nonstationary solutions considerably, since this method enables one to study not only invariant exact solutions.
Downloads
References
Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. - М.: Наука, 1972. - 392 с.
2. Бирих Р.В., Денисова М.О., Костарев К.Г. Возникновение конвекции Марангони, вызванной локальным внесением поверхностно-активного вещества // МЖГ. - 2011. - № 6. - С. 56-68. DOI
3. Бирих Р.В., Денисова М.О., Костарев К.Г. Развитие концентрационно-капиллярной конвекции на межфазной поверхности // МЖГ. - 2015. - № 3. - С. 56-67. DOI
4. Юдович В.И. О проблемах и перспективах современной математической гидродинамики // Успехи механики. - 2002. - Т. 1, № 1. - 61-102.
5. Остроумов Г.А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи. - М.: Гостехтеориздат, 1952. - 286 с.
6. Бирих Р.В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости // ПМТФ. - 1966. - № 3. - С. 69-72. DOI
7. Napolitano L.G. Plane Marangoni-Poiseuille flow of two immissible fluids // Acta Astronaut. - 1980. - Vol. 7, no. 4-5. - P. 461-478. DOI
8. Goncharova O.N., Kabov O.A. Gas flow and thermocapillary effects on fluid flow dynamics in a horizontal layer // Microgravity Sci. Tec. - 2009. - Vol. 21, no. 1. - P. 129-137. DOI
9. Андреев В.К. Решение Бириха уравнений конвекции и некоторые его обобщения: Препринт №1-10 / ИВМ СО РАН. - Красноярск, 2010. - 68 с.
10. Аристов С.Н., Шварц К.Г. Вихревые течения адвективной природы во вращающемся слое жидкости. - Пермь: Изд-во ПГУ, 2006. - 154 с.
11. Аристов С.Н., Шварц К.Г. Вихревые течения в тонких слоях жидкости. - Киров: ВятГУ, 2011. - 207 с.
12. Андреев В.К., Бекежанова В.Б. Устойчивость неизотермических жидкостей (Обзор) // ПМТФ. - 2013. - № 2. - С. 3-20. DOI
13. Аристов С.Н., Просвиряков Е.Ю. О слоистых течениях плоской свободной конвекции // Нелинейная динамика. - 2013. - Т. 9, № 4. - С. 651-657.
14. Пухначев В.В. Нестационарные аналоги решения Бириха // Известия АлтГУ. - 2011. - №1-2. - С. 62-69.
15. Никитин Н.В., Никитин С.А., Полежаев В.И. Конвективные неустойчивости в гидродинамической модели роста кристаллов методом Чохральского // Успехи механики. - 2003. - Т. 2, № 4. - С. 63-105.
16. Шварц К.Г. Плоскопараллельное адвективное течение в горизонтальном слое несжимаемой жидкости с твердыми границами // МЖГ. - 2014. - № 4. - С. 26-30. DOI
17. Lin C.C. Note on a class of exact solutions in magneto-hydrodynamics // Arch. Ration. Mech. An. - 1957. - Vol. 1, no. 1. - P. 391-395. DOI
18. Сидоров А.Ф. О двух классах решений уравнений механики жидкости и газа и их связи с теорией бегущих волн // ПМТФ. - 1989. - № 2. - С. 34-40. DOI
19. Аристов С.Н., Князев Д.Е., Полянин А.Д. Точные решения уравнений Навье-Стокса с линейной зависимостью компонент скорости от двух пространственных переменных // ТОХТ. - 2009. - Т. 43, № 5. - С. 547-566. DOI
20. Аристов С.Н., Зимин В.Д. Адвективные волны во вращающемся шаровом слое: Препринт № 145 / ИМСС, Уральский научный центр, АН СССР. - Свердловск, 1986. - 50 с.
21. Аристов С.Н., Фрик П.Г. Динамика крупномасштабных течений в тонких слоях жидкости: Препринт № 146 / ИМСС, Уральский научный центр, АН СССР. - Свердловск, 1987. - 48 с.
22. Аристов С.Н., Шварц К.Г. Конвективный теплообмен при локализованном нагреве плоского слоя несжимаемой жидкости // МЖГ. - 2013. - № 3. - С. 53-58. DOI
23. Аристов С.Н., Просвиряков Е.Ю. Об одном классе аналитических решений стационарной осесимметричной конвекции Бенара-Марангони вязкой несжимаемой жидкости // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. - 2013. - № 3(32). - С. 110-118.
24. Аристов С.Н., Князев Д.В. Локализованные конвективные течения в слое неоднородно нагретой жидкости // МЖГ. - 2014. - № 5. - С. 5-16. DOI
25. Аристов С.Н., Фрик П.Г. Крупномасштабная турбулентность в тонком слое неизотермической вращающейся жидкости // МЖГ. - 1988. - № 4. - С. 48-55. DOI
26. Рыжков И.И. Термодиффузия в смесях: уравнения, симметрии, решения и их устойчивость. - М.: Красноярск: Институт вычислительного моделирования СО РАН, 2012. - 200 с.
27. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Метод граничных элементов. - М.: Мир, 1987. - 524 с.
###
Gersuni G.Z., Zuhovickij E.M. Konvektivnaa ustojcivost’ neszimaemoj zidkosti. - M.: Nauka, 1972. - 392 s.
2. Birih R.V., Denisova M.O., Kostarev K.G. Vozniknovenie konvekcii Marangoni, vyzvannoj lokal’nym vneseniem poverhnostno-aktivnogo vesestva // MZG. - 2011. - No 6. - S. 56-68. DOI
3. Birih R.V., Denisova M.O., Kostarev K.G. Razvitie koncentracionno-kapillarnoj konvekcii na mezfaznoj poverhnosti // MZG. - 2015. - No 3. - S. 56-67. DOI
4. Udovic V.I. O problemah i perspektivah sovremennoj matematiceskoj gidrodinamiki // Uspehi mehaniki. - 2002. - T. 1, No 1. - 61-102.
5. Ostroumov G.A. Svobodnaa konvekcia v usloviah vnutrennej zadaci. - M.: Gostehteorizdat, 1952. - 286 s.
6. Birih R.V. O termokapillarnoj konvekcii v gorizontal’nom sloe zidkosti // PMTF. - 1966. - No 3. - S. 69-72. DOI
7. Napolitano L.G. Plane Marangoni-Poiseuille flow of two immissible fluids // Acta Astronaut. - 1980. - Vol. 7, no. 4-5. - P. 461-478. DOI
8. Goncharova O.N., Kabov O.A. Gas flow and thermocapillary effects on fluid flow dynamics in a horizontal layer // Microgravity Sci. Tec. - 2009. - Vol. 21, no. 1. - P. 129-137. DOI
9. Andreev V.K. Resenie Biriha uravnenij konvekcii i nekotorye ego obobsenia: Preprint No1-10 / IVM SO RAN. - Krasnoarsk, 2010. - 68 s.
10. Aristov S.N., Svarc K.G. Vihrevye tecenia advektivnoj prirody vo vrasausemsa sloe zidkosti. - Perm’: Izd-vo PGU, 2006. - 154 s.
11. Aristov S.N., Svarc K.G. Vihrevye tecenia v tonkih sloah zidkosti. - Kirov: VatGU, 2011. - 207 s.
12. Andreev V.K., Bekezanova V.B. Ustojcivost’ neizotermiceskih zidkostej (Obzor) // PMTF. - 2013. - No 2. - S. 3-20. DOI
13. Aristov S.N., Prosvirakov E.U. O sloistyh teceniah ploskoj svobodnoj konvekcii // Nelinejnaa dinamika. - 2013. - T. 9, No 4. - S. 651-657.
14. Puhnacev V.V. Nestacionarnye analogi resenia Biriha // Izvestia AltGU. - 2011. - No1-2. - S. 62-69.
15. Nikitin N.V., Nikitin S.A., Polezaev V.I. Konvektivnye neustojcivosti v gidrodinamiceskoj modeli rosta kristallov metodom Cohral’skogo // Uspehi mehaniki. - 2003. - T. 2, No 4. - S. 63-105.
16. Svarc K.G. Ploskoparallel’noe advektivnoe tecenie v gorizontal’nom sloe neszimaemoj zidkosti s tverdymi granicami // MZG. - 2014. - No 4. - S. 26-30. DOI
17. Lin C.C. Note on a class of exact solutions in magneto-hydrodynamics // Arch. Ration. Mech. An. - 1957. - Vol. 1, no. 1. - P. 391-395. DOI
18. Sidorov A.F. O dvuh klassah resenij uravnenij mehaniki zidkosti i gaza i ih svazi s teoriej begusih voln // PMTF. - 1989. - No 2. - S. 34-40. DOI
19. Aristov S.N., Knazev D.E., Polanin A.D. Tocnye resenia uravnenij Nav’e-Stoksa s linejnoj zavisimost’u komponent skorosti ot dvuh prostranstvennyh peremennyh // TOHT. - 2009. - T. 43, No 5. - S. 547-566. DOI
20. Aristov S.N., Zimin V.D. Advektivnye volny vo vrasausemsa sarovom sloe: Preprint No 145 / IMSS, Ural’skij naucnyj centr, AN SSSR. - Sverdlovsk, 1986. - 50 s.
21. Aristov S.N., Frik P.G. Dinamika krupnomasstabnyh tecenij v tonkih sloah zidkosti: Preprint No 146 / IMSS, Ural’skij naucnyj centr, AN SSSR. - Sverdlovsk, 1987. - 48 s.
22. Aristov S.N., Svarc K.G. Konvektivnyj teploobmen pri lokalizovannom nagreve ploskogo sloa neszimaemoj zidkosti // MZG. - 2013. - No 3. - S. 53-58. DOI
23. Aristov S.N., Prosvirakov E.U. Ob odnom klasse analiticeskih resenij stacionarnoj osesimmetricnoj konvekcii Benara-Marangoni vazkoj neszimaemoj zidkosti // Vestn. Sam. gos. tehn. un-ta. Ser.: Fiz.-mat. nauki. - 2013. - No 3(32). - S. 110-118.
24. Aristov S.N., Knazev D.V. Lokalizovannye konvektivnye tecenia v sloe neodnorodno nagretoj zidkosti // MZG. - 2014. - No 5. - S. 5-16. DOI
25. Aristov S.N., Frik P.G. Krupnomasstabnaa turbulentnost’ v tonkom sloe neizotermiceskoj vrasausejsa zidkosti // MZG. - 1988. - No 4. - S. 48-55. DOI
26. Ryzkov I.I. Termodiffuzia v smesah: uravnenia, simmetrii, resenia i ih ustojcivost’. - M.: Krasnoarsk: Institut vycislitel’nogo modelirovania SO RAN, 2012. - 200 s.
27. Brebbia K., Telles Z., Vroubel L. Metod granicnyh elementov. - M.: Mir, 1987. - 524 s.
Downloads
Published
Issue
Section
License
Copyright (c) 2015 Computational Continuum Mechanics
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.
