Метод возмущений и точные решения уравнений нелинейной динамики сред с микроструктурой

Аннотация

В статье показано, что точные солитоноподобные решения нелинейных эволюционных уравнений можно находить прямым методом возмущений на основе решения линеаризованного уравнения. Сами решения представляют собой суммы рядов метода возмущений, найденные в предположении об их геометричности. Критерием геометричности ряда является равенство последовательных диагональных аппроксимант Паде, минимальный порядок которых определяется порядком полюса искомого решения, полученного на основе анализа ведущих членов уравнения. Вычислительные аспекты метода иллюстрирует пример решения уравнения Кортевега-де Вриза. Приведена система уравнений искомых функций ряда метода возмущений, осуществлено его преобразование в степенной ряд, продемонстрировано наличие последовательности совпадающих аппроксимант, младший порядок которых одинаков с порядком полюса искомого решения. С использованием предложенного вычислительного метода построены классы точных уединенно-волновых решений неинтегрируемого уравнения четвертого порядка с произвольной степенью нелинейности, моделирующего распространение нелинейных волн в зернистых средах. Выделены классы точных решений обобщенного неинтегрируемого уравнения шестого порядка с кубической нелинейностью, выявлены соотношения между коэффициентами уравнения, необходимые для существования точных уединенно-волновых решений. Обнаружено, что в среде с мягкой нелинейностью точное решение имеет форму кинка, а в случае жесткой нелинейности - классического солитона. Для эффективного применения разработанной методики необходимо, чтобы ряд метода возмущений содержал все натуральные степени переменной и характеризовал функцию с полюсом целого порядка. Для уравнений, решения которых обладают полюсами дробных порядков, введены процедуры, преобразующие степенные ряды к требуемой форме.